Dasar Linguistik Mengakomodasi Perubahan Konseptual

Telah dikemukakan, pada alasan convetionalist bahwa pengetahuan matematika sehari-hari adalah pengetahuan linguistik, dan aman terhadap kebutuhan nyata dari keteraturan dan penggunaan bahasa. Tapi sementara konvensi linguistik memberikan pengetahuan matematika sehari-hari dengan landasan aman, demikian juga ia menyediakan alasan untuk perubahan dalam matematika, seperti konvensi dan penggunaan linguistik berkembang dari waktu ke waktu.

Sejak zaman dahulu sudah tak terbayangkan untuk mempertanyakan fakta dasar ‘1 + 1 = 2’ (lihat Restivo, 1984, di ‘2 + 2 = 4’). Namun sejak zaman George Boole kita dapat menegaskan fakta yang kontradiktif ‘1 + 1 = 1’. Hal ini dapat bergabung kembali bahwa ini hanya karena Boole telah menciptakan sebuah sistem yang formal memberikan arti yang berbeda terhadap simbol-simbol. Hal ini benar, tapi kenyataan tetap bahwa ‘1 + 1 = 1’ tidak salah, dan bahwa ‘1 + 1 = 2’ tidak lagi mutlak benar. Memang benar diberikan pengandaian tertentu (yang memang tertanam dalam bahasa alamiah kita), ketika konflik muncul, perlu dibuat eksplisit. Landasan awal aljabar Boolean mempertanyakan ‘1 + 1 = 2’ mungkin sederhana dan tidak koheren. Perubahan yang sesungguhnya, berada di belakang layar. Ini terletak dalam kenyataan bahwa kita dapat menangguhkan peraturan kita sehari-hari untuk bagian-bagian dari bahasa, dan mempertimbangkan konsekuensi dari konvensi hipotetis, yakni yang pertentangan atau perbedaan dari yang tertanam dalam penggunaan bahasa alamiah. Ini adalah perubahan yang oleh Russell untuk mengklaim sebagai matematika murni yang berorientasi pada Boole. Apakah ini berarti bahwa makna tunggal (unique) dari matematika telah hilang? Sebaliknya, itu berarti bahwa kita telah menambahkan permainan bahasa baru yang lebih abstrak, untuk yang berkaitan dengan bagian matematika dari bahasa alam.

Gagasan cakupan permainan bahasa yang meliputi bagian matematika dari bahasa alami memungkinkan keberatan yang akan dihadapi untuk dipilah. Ini menyangkut klaim bahwa ketika dasar dari pengetahuan matematika dan logika adalah melekat pada bahasa alamiah yang digunakan, maka semua pengetahuan matematika harus melekat dalam bahasa alamiah. Tapi ini jelas salah, satu-satunya kesimpulan yang sah dari premis tentang jumlah semua pengetahuan matematika yang merupakan dasar, dan bukan keseluruhan itu sendiri, adalah melekat pada pemakaian bahasa. Dengan dasar ini, semakin banyak permainan bahasa baru yang membentuk makna matematis dan pengetahuan, dapat (dan akan) dikembangkan, tanpa mengharuskan pembesaran yang sesuai dasar linguistik. Untuk wacana matematika formal dan informal khusus, dapat diperbesar yang bersandar pada dasar bahasa alami yang sama.

Pengetahuan matematika yang tertanam dalam penggunaan bahasa menyediakan dasar untuk pengetahuan matematis informal (dan akhirnya formal). Makna dan aturan-aturan yang terkandung dalam pengetahuan ini dapat digambarkan dalam bentuk serangkaian permainan bahasa. Permainan ini memberikan dasar lebih jauh, permainan bahasa yang lebih halus, yang abstrak, memperbaiki, memperluas dan mengembangkan aturan dan makna. Jadi hirarki yang longgar dapat disimpan, dengan pengetahuan matematika yang tertanam dalam bahasa alami, yang memperbaiki dasar. Pada ini membangun serangkaian permainan bahasa, membentuk pengetahuan matematika secara informal dan pada akhirnya secara formal. Di ujung hierarki, sistem matematika informal menjadi terformalkan ke dalam teori teraksiomatik. Pada tingkat ini aturan permainan atau sistem menjadi hampir sepenuhnya eksplisit. Dengan cara ini pengetahuan matematika yang implisit dalam bahasa memberikan dasar untuk semua pengetahuan matematika. Kebenaran yang terkandung di dalamnya dan dipercayakan oleh penggunaan bahasa tercermin meningkatkan hirarki untuk membenarkan asumsi-asumsi dasar yang diadopsi dalam matematika. Hal yang sama berlaku bagi asumsi dan aturan-aturan logika. Pada bagian berikutnya kita akan membahas peran asumsi semacam itu, dalam pembenaran pengetahuan matematika.

Pada bagian ini kita telah melihat bahwa konvensi dan penggunaan linguistik memberikan pengetahuan matematika dengan aman. Demikian pula, ia menyediakan dasar untuk muatan dalam matematika, seperti konvensi dan penggunaan linguistik berkembang dari waktu ke waktu. Matematika, seperti pengetahuan alam lain pada dasarnya tergantung pada asumsi linguistik. Fallibilism memaksa kita untuk mengakui keberadaan mereka, serta perubahan sifat mereka, di atas perjalanan waktu.